*Primeiramente vamo ver o que é a geometria.
A geometria é um ramo da matemática que estuda as formas, planas e espaciais, com as suas propriedades.
A geometria está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teorema e corolários. Sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema.
A geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
*Agora vamos mostras os três tipos que constituem a geometria espacial seguido de imagens, exercícios e uma breve explicação de cada um.
sábado, 22 de novembro de 2008
terça-feira, 18 de novembro de 2008
Cone
Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).
Os cones podem ser divididos em:
* Reto
* Oblíquo
* Equilátero
Reto
O cone é dito reto quando a sua base é uma circunferência e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cónica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto. O eixo é perpendicular á base.
Oblíquo
Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo é oblíquo ao plano da base.
Equilátero
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
Os cones podem ser divididos em:
* Reto
* Oblíquo
* Equilátero
Reto
O cone é dito reto quando a sua base é uma circunferência e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cónica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto. O eixo é perpendicular á base.
Oblíquo
Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo é oblíquo ao plano da base.
Equilátero
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
Exercícios de Cone
1- (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será:
a) O triplo da do prisma.
b) O dobro da do prisma.
c) O triplo da metade da do prisma.
d) O dobro da terça parte da do prisma.
e) n.d.a
2- Calcule o volume de um cone cuja secçao meridiana é equivalente á base, sabendo que a altura do cone é 5 cm.
3- Calcule o volume de um cone reto de raio da base 3 cm e geratriz 5 cm.
a) O triplo da do prisma.
b) O dobro da do prisma.
c) O triplo da metade da do prisma.
d) O dobro da terça parte da do prisma.
e) n.d.a
2- Calcule o volume de um cone cuja secçao meridiana é equivalente á base, sabendo que a altura do cone é 5 cm.
3- Calcule o volume de um cone reto de raio da base 3 cm e geratriz 5 cm.
Esfera
A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superficie curva contínua cujos pontos estão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma. Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola, mas geralmente se usa "esfera" para denominar um corpo maciço. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço. Quanto a geometria análitica, uma esfera é representada pela equação: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2 em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera.
Imagem de uma Esfera.
Imagem de uma Esfera.
Exercícios de Esfera
1-(UFP) Considere os dois sólidos: Uma esfera de diâmetro 10 dm] Um cilindro de diâmetro 10 dm e altura 8 dm. A respeito deles, é correto afirmar que: possuem a mesma capacidade volumétrica em litros o volume da esfera é maior que o volume do cilindro a área da superfície esférica é igual a área lateral do cilindro o volume da esfera é menor que o volume do cilindro possuem a mesma superfície externa
2- ( CEFET - PR ) Se aumentarmos em 3 cm o raio de uma esfera, seu volume aumentará 252 cm3. O raio da esfera original mede, em cm:
a) 3
b) 2
c) 4
d) 6
e) 7
3-Pretende-se transportar 120 bolinhas maciças,feitas de ferro,em caixas que comportam no máximo 1kg. O diâmetro das bolinhas é 1,5 cm, e a densidade do ferro, 7,8g/cm³ .Calcule o número mínimo necessário de caixas para esse transporte.
2- ( CEFET - PR ) Se aumentarmos em 3 cm o raio de uma esfera, seu volume aumentará 252 cm3. O raio da esfera original mede, em cm:
a) 3
b) 2
c) 4
d) 6
e) 7
3-Pretende-se transportar 120 bolinhas maciças,feitas de ferro,em caixas que comportam no máximo 1kg. O diâmetro das bolinhas é 1,5 cm, e a densidade do ferro, 7,8g/cm³ .Calcule o número mínimo necessário de caixas para esse transporte.
Cilindro
Em matemática, um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.
O cilindro é também definido através de uma superfície quadrática, cuja função geradora é:
Para o cilindro circular, os valores de a e b, na equação acima, são iguais.
Há também a possibilidade do cilindro circular ser chamado de cilindro equilátero. Tal denominação ocorre quando a sua altura, também chamada de geratriz, equivale ao diâmetro da base.
Planificação do Cilindro
A superfície lateral do cilindro é um rectângulo em que:
* o comprimento do rectângulo é igual ao perímetro do círculo da base do cilindro;
* a largura do rectângulo é igual à altura do cilindro.
As bases do cilindro são círculos geometricamente iguais.
Exercícios de Cilindro
1- Um tanque cilíndrico tem 4 m de profundidade, e o diâmetro da base mede 10 m. Determine a capacidade do tanque em metros cubicos.
2-(FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é
a) 1250 π.
b) 1250 π.2
c) 6,25 π.2
d) 625 π.
e) 625 π.2
3-(UFPA) O reservatório "tubinho de tinta" de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Se você gasta 5π mm3 de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica durará:
a)20 dias
b)40 dias
c)50 dias
d)80 dias
e)100 dias
*CURIOSIDADE!!!*
Calculando Mentalmente.
A seguir apresentaremos exemplos que ilustram algumas técnicas interessantes e vantajosas para realizar adições mentalmente. Estas técnicas são comumente usadas por comerciantes, por pessoas que calculam pontos de um jogo, etc.
Curiosidade:
Você sabia que na Copa Mundial de 2008, realizada na Alemanha, a seleção brasileira, em seu primeiro jogo,fez 1 gol; no segundo jogo, 2 gols e no terceiro jogo fez 4 gols? Que bom se continuasse dessa forma, pois no próximo jogo faria 8 gols, depois 16, depois 32 e assim por diante... quem sabe seria hexa. Tal fato, representa uma sequência numérica definida como PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - P.G., de razão 2, ou seja, de um jogo para o outro, sempre ocorre o dobro da quantidade de gols da partida anterior.
Alguns Matematicos:
Pierre Fermat
Charles Babbage
José Sebastião e Silva
W.Oughtred
Andrei Kolmogorov
Marcelo Viana
Pierre Laplace
2-(FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é
a) 1250 π.
b) 1250 π.2
c) 6,25 π.2
d) 625 π.
e) 625 π.2
3-(UFPA) O reservatório "tubinho de tinta" de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Se você gasta 5π mm3 de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica durará:
a)20 dias
b)40 dias
c)50 dias
d)80 dias
e)100 dias
*CURIOSIDADE!!!*
Calculando Mentalmente.
A seguir apresentaremos exemplos que ilustram algumas técnicas interessantes e vantajosas para realizar adições mentalmente. Estas técnicas são comumente usadas por comerciantes, por pessoas que calculam pontos de um jogo, etc.
Curiosidade:
Você sabia que na Copa Mundial de 2008, realizada na Alemanha, a seleção brasileira, em seu primeiro jogo,fez 1 gol; no segundo jogo, 2 gols e no terceiro jogo fez 4 gols? Que bom se continuasse dessa forma, pois no próximo jogo faria 8 gols, depois 16, depois 32 e assim por diante... quem sabe seria hexa. Tal fato, representa uma sequência numérica definida como PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - P.G., de razão 2, ou seja, de um jogo para o outro, sempre ocorre o dobro da quantidade de gols da partida anterior.
Alguns Matematicos:
Pierre Fermat
Charles Babbage 
José Sebastião e Silva 
W.Oughtred 
Andrei Kolmogorov
Marcelo Viana
Pierre Laplace
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